Ukážeme si, jak lze odvodit vlastnosti sil působících příliv a odliv metodami současné fyziky ve vektorové notaci. Protože se celý jev odehrává v rovině, budeme používat dvourozměrnou notaci; vektorové výrazy samozřejmě platí i v trojrozměrném prostoru.
Přitažlivost budeme charakterizovat vektorem zrychlení g; jeho velikost je dána Newtonovým gravitačním zákonem, když příslušnou sílu vydělíme hmotností přitahovaného tělesa; zrychlení má směr polohového vektoru r = {x;y} vůči centru nebeského tělesa, které příliv způsobuje (budeme pro stručnost hovořit o Slunci, i když úvaha platí obecně) a opačný směr. Potom velikost zrychlení je dána výrazem:
g = - κ·M·r-3·r,
kde κ je gravitační konstanta, M hmotnost Slunce, r = √(x² + y²) je velikost polohového vektoru; specifický zápis vyjadřuje nejen velikost, ale i směr vektoru; tučné symboly představují vektory. Přitom Sluncem způsobené gravitační zrychlení ve středu Země je (v souhlase s důsledkem 6 zákonů Newtonových Principií) vyrovnáno jejím pohybem a proto na pozemská tělesa působí jen odchylka od této hodnoty. A jelikož rozměry Země jsou ve srovnání se vzdáleností od Slunce malé, je možno tyto rozdíly linearizovat rozvojem uvedeného výrazu kolem středu Země jako úplný diferenciál. Při výpočtu příslušných parciálních derivací použijeme následující rovnosti:
∂r / ∂x = x / r ,
∂r / ∂y = y / r
,
∂r / ∂x = {1; 0},
∂r / ∂y = {0; 1} .
Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme po úpravě :
∂g / ∂x = κ·M·r-5·{3·x2 - r2; 3·x·y} ,
∂g / ∂y = κ·M·r-5·{3·x·y, 3·y2 - r2} .
Uvedené výrazy platí obecně; nyní umístíme Slunce do počátku souřadnic, Zemi na osu x a vyjádříme derivace v konkrétním bodě R0={R; 0}, kde R je vzdálenost Země od Slunce; polohový vektor ρ={dx, dy} udává souřadnice vzhledem ke středu Země. Po dosazení dostaneme pro vektor poruchového zrychlení:
dg = κ·M·r-3·{2·dx, - dy} .
V bodech u Slunce a proti Slunci je dy=0; zrychlení má směr polohového vektoru a tedy směřuje od Země a snaží se jí roztáhnout. V bodech kolmo ke Slunci je dx=0; zrychlení tady směřuje proti polohovému vektoru a snaží se jí stlačit poloviční silou. Dosadíme-li do výrazů hodnoty určené současnými astronomy, dostáváme pro Slunce celkový rozdíl obou zrychlení rovný dg=7,53·10-7 m·s-2, pro Měsíc dg=16,53·10-7 m·s-2. Označíme-li ρ = {ρ·cos φ; ρ·sin φ}, kde ρ je poloměr Země a φ úhel sevřený polohovým vektorem ρ s osou x, dostaneme výraz:
dg = κ·M·r-3·ρ·{2 cos φ , - sin φ} .
Někde je tedy Země natahována, jinde stlačována. Zajímavé je zjistit úhel, pro který je toto zrychlení rovnoběžné s povrchem Země, tedy kolmé k průvodiči ρ . Z podmínky, že skalární součin vektorů dg a ρ je nulový, dostaneme 3·cos² φ = 1, tedy cos φ = √3 a φ = 54,74 stupňů; Země zde není ani natahována ani stačována, ale předměty (včetně mořské vody) na povrchu jsou taženy rovnoběžně s povrchem směrem ke Slunci nebo naopak od Slunce. Jev nastává samozřejmě zrcadlově jak na přivrácené, tak na odvrácené polokouli.
Pro upřesnění uvedu, že úhel φ neodpovídá např. obvyklým zeměpisným souřadnicím, ale okamžité poloze Země vůči Slunci, případně Měsíci. Vzhledem ke sklonu zemské osy k rovině ekliptiky a i k rovině oběhu Měsíce je situace poměrně složitá; nemluvě o skutečném přílivu a odlivu ovlivněném mořskými proudy, rotací Země a souvisejícími Coriolisovými silami apod. Uvedu jen, že při použití Newtonova modelu dvou kolmých šachet do středu Země naplněných vodou a integrací „poruchové“ váhy vody podél těchto šachet (váha roste úměrně vzdálenosti od středu Země) dostaneme pro Slunce výšku pouhých 24,5 cm, pro Měsíc 54,8 cm; to odpovídá výšce přílivu na malých ostrovech uprostřed oceánů; poblíž pevniny je tento jev zesilován slapovými vlnami „obíhajícími“ okolo Země při její rotaci.
Dodejme ještě, že při výpočtu je možno namísto linearizace pomocí úplného diferenciálu použít přímo nejvýše uvedenou rovnici; výsledky se pro slunce liší až od páté platné cifry; v případě Měsíce jsou rozdíly v procentech, ale i to obraz jevu příliš nenarušuje. Pouze je patrné, že symetrie mezi polokoulemi přikloněnými a odkloněnými od slunce je narušena.
Tato práce vznikla jako komentář vzniklý během překladu práce Isaaca Newtona: Matematické principy přírodní filosofie, konkrétně tvrzení 36 a 37 třetí knihy.